Coût de production d'une peinture

Problème adapté de la banque nationale de sujets : https://www.education.gouv.fr/reussir-au-lycee/bns

Une entreprise fabrique et commercialise de la peinture écologique. Sa capacité de production est limitée à \(10\) milliers de litres de peinture par mois.
Le coût total de production mensuel, exprimé en milliers d'euros, est modélisé par la
fonction \(C\) définie sur l’intervalle \([0\,;10]\) par \(C(x)= 0{,}8x^2 - 12x + 63{,}368\), où \(x\) désigne la quantité de peinture fabriquée chaque mois, exprimée en milliers de litres.

1. On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction \(C\) sur l’intervalle \([0\,;10]\).

Répondre aux questions suivantes avec la précision permise par le graphique.
    a. Quel est le coût de production mensuel de \({3\,000}\) L de peinture ?
    b. Pour quelles valeurs de la quantité de peinture à produire mensuellement, le coût de production est-il inférieur ou égal à \(20\,000\) euros ?

2. Le coût moyen unitaire de production, exprimé en milliers d'euros, correspondant à la production de \(x\) milliers de litres de peinture, est donné sur l’intervalle \(]0~ ; 10]\) par \(f(x)=\dfrac{C(x)}{x}\).
Ainsi \(f(6)\) représente le coût de production, en milliers d'euros, d’un millier de litres de peinture lorsque l’entreprise produit \(6\,000\) L de peinture.
    a. Vérifier que, pour tout réel \(x\) de l'intervalle \(]0\,;10]\), \(f(x) = 0{,}8x-12 + \dfrac{63{,}368}{x}\).
    b. Démontrer que, pour tout réel \(x\) de l'intervalle \(]0\,;10]\), \(f'(x) = \dfrac{0{,}8(x - 8{,}9)(x + 8{,}9)}{x^2}\).
    c. Étudier les variations de la fonction \(f\) sur l’intervalle \(]0\,;10]\).
    d. En déduire le coût moyen unitaire de production minimal ainsi que la quantité de peinture à produire pour obtenir ce coût minimal.